Symmetrie von Funktionen

Es gibt zwei Arten von Symmetrie, die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie.

 

In der Regel betrachtet man nur die Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. die Punktsymmetrie zum Ursprung. Es ist jedoch durch verschiedene Verfahren auch möglich, die Symmetrie zu einer parallelen zur y-Achse bzw. die Symmetrie zu einem beliebigen Punkt nachzuweisen. Achtung, eine Funktion kann niemals symmetrisch zu einer parallelen zur x-Achse sein.

Eine Funktion ist symmetrisch, sofern es einen Punkt (z.B. den Ursprung) oder eine Gerade (z.B. die y-Achse) gibt, sodass man die Funktion derart spiegeln kann, dass das Spiegelbild wieder wie die Ausgangsfunktion aussieht.

Der Einfachheit halber, betrachten wir nur die Symmetrie zum Ursprung bzw. die Symmetrie zur y-Achse.

 

Für die Achsensymmetrie zur y-Achse gilt : ƒ(-x)=ƒ(x)

Für die Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: ƒ(-x)=-ƒ(x)

 

Wie kommt das? Das lässt sich recht simpel über die Exponenten erklären:

Angenommen alle Exponenten wären gerade (g), würden wir jetzt  ein positives x einsetzen, wäre das Ergebnis der Potenz [x^g] dementsprechend positiv, bei einem negativen x wäre das Ergebnis der Potenz jedoch auch positiv. Bedeutet also, egal ob man x oder -x einsetzt, der Funktionswert wäre gleich. Daraus folgt: ƒ(-x)=ƒ(x), sofern es nur gerade Exponenten in der Funktion gibt. Eine Besonderheit muss beachtet werden: Das absolute Glied zählt zu den geraden Exponenten, da es keinen Unterschied macht, ob das x positiv oder negativ ist, da x^0 unabänderbar 1 entspricht.

 

Geht man jetzt davon aus, dass alle Exponenten ungerade (u) sind, ist das Ergebnis der Potenz [x^u] für ein positives x auch positiv. Das gilt jedoch nicht für negative x, in diesem Fall wäre das Ergebnis auch negativ, um genau zu sein, wäre das Ergebnis die negative Version des Ergebnisses des positiven x. Daraus folgt: ƒ(-x)=-ƒ(x), sofern es nur ungerade Exponenten in der Funktion gibt. Man muss beachten, dass es kein absolutes Glied in der Funktion geben darf.

 

Fasst man das nun zusammen, kann man auch ganz simpel sagen, dass Funktionen die nur gerade Exponenten haben achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

Ebenso gilt, dass Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung sind, sofern sie nur ungerade Exponenten haben.

Abschließend kann man dann schlussfolgern, dass Funktionen mit gemischten Exponenten (gerade und ungerade Exponenten in einer Funktion), weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung sind.

 

Hier sind zwei Videos , auf denen ihr anhand von zwei 3D-Modellen die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion mit geraden Exponenten und einer ganzrationalen Funktion mit ungeraden Exponenten nachvollziehen könnt.