Das Integral
Das Integral beschäftigt sich mit dem Flächeninhalt, der durch eine Funktion mit der x-Achse eingeschlossen wird. Wie bei der Rekonstruktion einer Größe muss man diesen Flächeninhalt durch zur Hilfenahme geeigneter Maßnahmen bestimmen. Bei linearen oder auch konstanten Funktionen, kann man sehr gut mit Rechtecken und Dreiecken das genaue Ergebnis berechnen.
Sobald man jedoch, und darum soll es auch hauptsächlich gehen, ganzrationale Funktionen betrachtet, ist diese Kombination sehr ungenau. Daher bedient man sich der Berechnung der sogenannten Ober- und Untersumme. Doch was ist das? Sieht man sich eine beliebige ganzrationale Funktion auf dem Intervall [a;b] an und teilt
dieses Intervall in eine relativ geringe Anzahl von Teilabschnitten, so merkt man recht schnell, dass man diese Teilabschnitte nicht durch ein Rechteck oder gar ein Dreieck vollständig ausfüllen kann.
Bei der Untersumme, nimmt man den linken Rand des Teilabschnitts als obere Grenze. So verfährt man mit allen Teilabschnitten. Es fällt auf, dass ein erheblicher Teil der eingeschlossenen Fläche noch nicht durch die Fläche der Rechtecke abgedeckt ist. Jedoch lässt sich der Flächeninhalt der Rechtecke so relativ leicht bestimmen.
Bei der Obersumme hingegen, nimmt man den rechten Rand des Teilabschnitts als obere Grenze. Nachdem auch hier jeder Teilabschnitt mit einem Rechteck bedeckt wurde, erkennt man unschwer, dass nun ein Flächeninhalt bestimmt wird, der größer ist als der eingeschlossene Flächeninhalt.
Bestimmt man beide Summen und subtrahiert diese dann von einander (Obersumme – Untersumm), erhält man eine Differenz, durch die man eine Annäherung an den eigentlichen von der Funktion eingeschlossenen Flächeninhalt erhält.
Aber warum ist das so? Wenn man sich jetzt mal genauer die Ober- und Untersumme anschaut, fällt auf, dass die Fläche, die die Untersumme nicht berechnet hat, in etwa so groß ist, wie die Fläche, die die Obersumme zuviel berechnet hat.
Da man aber ja einen möglichst genauen Flächeninhalt haben möchte, muss man diese Annäherung verbessern. Dies geschieht durch eine Verkleinerung der Teilabschnitte. Es ist verständlich, dass je schmaler die Rechtecke für Ober- und Untersumme sind, desto kleiner ist die Differenz (das Ergebnis der Subtraktion von Ober- und Untersumme). Daher möchte man die Ober- und Untersumme für eine möglichst große Anzahl von Teilabschnitten des Intervalls bestimmen.
Man nimmt also an, dass in dem Fall, dass es unendlich viele bzw. kleine (schmale) Intervalle gibt, die Differenz von Ober- und Untersumme gleich 0 ist.
Wenn dem also so ist, gibt die Differenz von Ober- und Untersumme den korrekten Flächeninhalt wieder, der durch den Graphen und die x-Achse eingeschlossen ist.
Sofern man nun eine ganzrationale Funktion im Intervall [a;c] betrachtet, wobei ein Teil des Intervalls unterhalb der x-Achse liegt, teilt man den Flächeninhalt in mehrere Teilflächeninhalte auf. Als Grenze zwischen den Teilflächeninhalten wählt man die Nullstellen der Funktion.
Anschließend bestimmt man jeweils die Ober- und Untersumme der Teilflächeninhalte. Bei der Verrechnung der Teilflächeninhalte muss man auf den orientierten Flächeninhalt achten. Sollte sich ein Flächeninhalt unterhalb der x-Achse befinden, muss er mit einem negativen Vorzeichen in der Summe erscheinen.
