Momentane Änderungsrate und Ableitung

Sofern der Differenzenquotient zwischen den Stellen x0 und x0+h für h→0 gegen einen Grenzwert strebt, dann heißt der Differenzenquotient auch Ableitung von ƒ an der Stelle x0.

Man schreibt XXXXXXX . ƒ heißt dann an der Stelle x0 differenzierbar.

Die Gerade die durch den Punkt P(x0|ƒ(x0)) verläuft und die Steigung ƒ'(x0) hat, ist die Tangente im Punkt P. Der Graph von ƒ hat an der Stelle x0 die Steigung ƒ'(x0).

Die Ableitung wird häufig auch als momentane bzw. lokale Änderungsrate der jeweiligen Größe bezeichnet.

Die Ableitungsfunktion ƒ‘ ordnet jeder Stelle x0 ein ƒ'(x0) zu, sofern ƒ an dieser Stelle differenzierbar ist. Sofern man den Differenzenquotienten zur Bestimmung des Funktionsterms für ƒ‘ verwendet, ist dies sehr aufwendig. Durch die folgenden Ableitungsregeln, wird das Ganze sehr viel einfacher.

Potenzregel

Für die Funktion f gilt:

\[ f(x)=x^{n}, n\in\mathbb{N}, gilt: ƒ'(x)=n\cdot x^{n-1} \]

Faktorregel

Für die Funktion f gilt:

\[ ƒ(x)=r\cdot g(x), r\in \mathbb{R}, gilt: ƒ'(x)=r\cdot g'(x) \]

Summenregel

Für die Funktion f gilt:

\[ ƒ(x)=k(x)+h(x)  gilt: ƒ'(x)=k'(x)+h'(x) \]

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